שיעור 79: קשר פונקציות-שאלה קצרה 2025

מציאת נקודות פיתול ותחומי קעירות וקשר f (x) f'(x) f" (x)

1🔵 סעיף 1: איזה גרף הוא הפונקציה, איזה הנגזרת ואיזה הנגזרת השנייה – עם נימוק

2🟣 סעיף 2: כמה נקודות פיתול יש לפונקציה – לפי נקודות הקיצון של הנגזרת

הפונקציה f(x), פונקציית הנגזרת שלה f′(x) ופונקציית הנגזרת השנייה f″(x) מוגדרות לכל x. לפניכם שלושה גרפים I–III; אחד מתאר את f(x), אחד את f′(x) ואחד את f″(x). בכל גרף מופיעות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך שלו עם ציר x, ועל כל גרף רשומה נקודת החיתוך עם ציר y.

גרף I

גרף II

גרף III

🔵 סעיף 1: איזה גרף הוא הפונקציה, איזה הנגזרת ואיזה הנגזרת השנייה – עם נימוק

התאימו לכל אחת מן הפונקציות f(x), f′(x) ו-f″(x) את הגרף המתאר אותה. נמקו את תשובתכם.

מוצאים קודם את f ואת f′ – השלישי יהיה f″.

הקשר: קיצון של f ← חיתוך של f′ עם ציר x; f עולה ← f′ חיובית; f יורדת ← f′ שלילית.

נניח ש-I הוא f: יש לו שלוש נקודות קיצון (מקסימום, מינימום, מקסימום) ← לנגזרת צריכות להיות שלוש נקודות חיתוך עם ציר x.

לגרף II יש רק נקודת חיתוך אחת ולגרף III רק שתיים ← I לא יכול להיות f.

נניח ש-II הוא f: יש לו נקודת קיצון אחת – מקסימום – ונקודת פיתול (מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה).

בנקודת המקסימום יש חיתוך עם ציר x גם בגרף III וגם בגרף I – לא מספיק כדי להחליט.

פיתול ב-f ← קיצון ב-f′: בגרף III יש שם נקודת מינימום ✓; בגרף I אין שם קיצון ✗.

בדיקה: לפני המקסימום f עולה וגרף III חיובי; אחרי המקסימום f יורדת וגרף III שלילי ✓.

לכן II הוא f, III הוא f′, והשלישי, I, הוא f″.

✅ גרף II הוא f(x)

✅ גרף III הוא f′(x)

🔵 סעיף 1: איזה גרף הוא הפונקציה, איזה הנגזרת ואיזה הנגזרת השנייה – עם נימוק · המשך

✅ גרף I הוא f″(x)

🟣 סעיף 2: כמה נקודות פיתול יש לפונקציה – לפי נקודות הקיצון של הנגזרת

כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)? נמקו את תשובתכם.

נקודות פיתול של f = נקודות קיצון של הנגזרת f′.

הנגזרת היא גרף III: יש לו נקודת מינימום (על ציר x), נקודת מקסימום ועוד נקודת מינימום – שלוש נקודות קיצון.

שלוש נקודות קיצון בנגזרת ← שלוש נקודות פיתול בפונקציה.

✅ לפונקציה f(x) יש 3 נקודות פיתול

📌 לזכור

💡 בשאלת התאמה של שלושה גרפים: מוצאים את הזוג f ו-f′ (קיצון ← חיתוך עם ציר x, פיתול ← קיצון), והגרף שנשאר הוא f″. לא תמיד רואים פיתול בעין – סופרים קיצון בנגזרת.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא